定理已证明

双侧 z 检验的精确显著性水平

命题陈述

设 $X_1, \ldots, X_n$ 独立同分布于 $N(\mu_0, \sigma^2)$ ,其中 $\sigma$ 已知,并设 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ 。设 $z_{\alpha/2}$ 是使标准正态分布满足 $P(Z > z_{\alpha/2}) = \alpha/2$ 的值。那么当 $|Z| > z_{\alpha/2}$ 时拒绝 $H_0: \mu = \mu_0$ 的检验恰好满足 $P(\text{reject } H_0 \mid H_0) = \alpha$ 。

为什么成立?

拒绝域是直接根据 $H_0$ 成立时 $Z$ 的精确分布构造出来的,因此其在 $H_0$ 下的概率可以被精确计算,而不仅仅是被界定上限,从而得到一个假阳性率在所选水平 $\alpha$ 上被精确控制、而非仅仅近似控制的检验。

证明思路

第一步( $H_0$ 下 $Z$ 的分布):由于 $X_1, \ldots, X_n$ 独立同分布于 $N(\mu_0, \sigma^2)$ ,样本均值 $\bar{X}$ 服从 $N(\mu_0, \sigma^2/n)$ ,标准化后恰好有 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ 。

第二步(拒绝事件的概率):拒绝事件为 $|Z| > z_{\alpha/2}$ ,它可分解为两个不相交的事件 $Z > z_{\alpha/2}$ 与 $Z < -z_{\alpha/2}$ ,故 $P(|Z| > z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2}) + P(Z < -z_{\alpha/2})$ 。

第三步(利用标准正态分布的对称性):标准正态密度关于 $0$ 对称,故 $P(Z < -z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2})$ ;由 $z_{\alpha/2}$ 的定义,这两个概率各等于 $\alpha/2$ 。

第四步(把两部分相加):代入第二步,得 $P(|Z| > z_{\alpha/2}) = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$ ,由于该概率是(利用第一步)在 $H_0$ 下精确计算出来的,故恰好有 $P(\text{reject } H_0 \mid H_0) = \alpha$ ,即为所证。

用到此定理的主题

假设检验

分步证明

该定理暂无分步证明。