假设检验

当似然比 $L(\theta_1)/L(\theta_0)$ 较大时拒绝,意味着恰好在相对最符合 $\theta_1$ 而非 $\theta_0$ 的那些结果上拒绝;把固定的“预算” $\alpha$(假阳性风险)花在这些结果上,而不是其他任何结果上,能换来尽可能大的真阳性检测功效。

第一步(设定任意的竞争检验):设 $C$ 为命题中基于似然比的拒绝域,其指示函数为 $\phi_C$;设 $D$ 为满足 $P(D \mid H_0) \leq \alpha$ 的任意其他检验的拒绝域,其指示函数为 $\phi_D$。我们需要证明在 $\theta_1$ 处的功效满足 $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$。

第二步(一个关键的逐点不等式):对每个结果 $x$,量 $(\phi_C(x) - \phi_D(x)) \cdot (L(\theta_1) - k \, L(\theta_0))$ 都不会为负。事实上,若 $x \in C$,则 $L(\theta_1) > k \, L(\theta_0)$,且由 $\phi_C(x) = 1$ 知 $\phi_C(x) - \phi_D(x) \geq 0$;若 $x \notin C$,则 $L(\theta_1) \leq k \, L(\theta_0)$,且由 $\phi_C(x) = 0$ 知 $\phi_C(x) - \phi_D(x) \leq 0$;两种情形下两个因子的乘积都 $\geq 0$。

第三步(对不等式求和):对所有结果 $x$ 把这个非负量求和(或积分),得到 $\sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_1) - k \sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_0) \geq 0$,可改写为 $\big(P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1)\big) - k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$。

第四步(利用显著性水平得出结论):按构造 $P(C \mid H_0) = \alpha$,而由假设 $P(D \mid H_0) \leq \alpha$,故 $P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0) \geq 0$;又因 $k \geq 0$,在第三步的第一个括号中减去 $k$ 倍的一个非负量只会使不等式更强,即 $P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1) \geq k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$,从而 $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$,即为所证。

拒绝域是直接根据 $H_0$ 成立时 $Z$ 的精确分布构造出来的,因此其在 $H_0$ 下的概率可以被精确计算,而不仅仅是被界定上限,从而得到一个假阳性率在所选水平 $\alpha$ 上被精确控制、而非仅仅近似控制的检验。

第一步($H_0$ 下 $Z$ 的分布):由于 $X_1, \ldots, X_n$ 独立同分布于 $N(\mu_0, \sigma^2)$,样本均值 $\bar{X}$ 服从 $N(\mu_0, \sigma^2/n)$,标准化后恰好有 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。

第二步(拒绝事件的概率):拒绝事件为 $|Z| > z_{\alpha/2}$,它可分解为两个不相交的事件 $Z > z_{\alpha/2}$ 与 $Z < -z_{\alpha/2}$,故 $P(|Z| > z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2}) + P(Z < -z_{\alpha/2})$。

第三步(利用标准正态分布的对称性):标准正态密度关于 $0$ 对称,故 $P(Z < -z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2})$;由 $z_{\alpha/2}$ 的定义,这两个概率各等于 $\alpha/2$。

第四步(把两部分相加):代入第二步,得 $P(|Z| > z_{\alpha/2}) = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$,由于该概率是(利用第一步)在 $H_0$ 下精确计算出来的,故恰好有 $P(\text{reject } H_0 \mid H_0) = \alpha$,即为所证。