内曼–皮尔逊引理

第一步(设定任意的竞争检验):设 $C$ 为命题中基于似然比的拒绝域,其指示函数为 $\phi_C$;设 $D$ 为满足 $P(D \mid H_0) \leq \alpha$ 的任意其他检验的拒绝域,其指示函数为 $\phi_D$。我们需要证明在 $\theta_1$ 处的功效满足 $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$。

第二步(一个关键的逐点不等式):对每个结果 $x$,量 $(\phi_C(x) - \phi_D(x)) \cdot (L(\theta_1) - k \, L(\theta_0))$ 都不会为负。事实上,若 $x \in C$,则 $L(\theta_1) > k \, L(\theta_0)$,且由 $\phi_C(x) = 1$ 知 $\phi_C(x) - \phi_D(x) \geq 0$;若 $x \notin C$,则 $L(\theta_1) \leq k \, L(\theta_0)$,且由 $\phi_C(x) = 0$ 知 $\phi_C(x) - \phi_D(x) \leq 0$;两种情形下两个因子的乘积都 $\geq 0$。

第三步(对不等式求和):对所有结果 $x$ 把这个非负量求和(或积分),得到 $\sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_1) - k \sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_0) \geq 0$,可改写为 $\big(P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1)\big) - k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$。

第四步(利用显著性水平得出结论):按构造 $P(C \mid H_0) = \alpha$,而由假设 $P(D \mid H_0) \leq \alpha$,故 $P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0) \geq 0$;又因 $k \geq 0$,在第三步的第一个括号中减去 $k$ 倍的一个非负量只会使不等式更强,即 $P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1) \geq k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$,从而 $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$,即为所证。