竖线检验

($\Rightarrow$) 设 $C$ 是某函数 $f$ 的图象,则 $C$ 上每个点对某个输入 $x_0$ 都形如 $(x_0,f(x_0))$。任取一条竖直线 $x=x_0$;$C$ 上可能落在其上的点只能是横坐标为 $x_0$ 的点,而且这样的点只有一个,即 $(x_0,f(x_0))$,因为 $f$ 只为 $x_0$ 指定一个值。所以该直线与 $C$ 至多相交一点。

($\Leftarrow$) 反过来,假设每条竖直线与 $C$ 至多相交一点。定义 $f$ 如下:对每个在其上方有 $C$ 上的点的 $x_0$,令 $f(x_0)$ 为该(由假设唯一确定的)点的 $y$ 坐标。这样每个输入至多对应一个输出,所以 $f$ 是良定义的函数,并且按构造其图象恰好是 $C$。

两个方向合在一起说明了等价性:作为函数的图象与通过竖线检验,是从两个角度看到的同一性质。