线性变换对平均数与标准差的影响

关于均值:$\bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i+b) = \frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = a\bar x + b$,这里用到 $\frac{1}{n}\sum x_i = \bar x$ 以及 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = b$。

关于分散程度,先注意到 $y_i-\bar y = (ax_i+b)-(a\bar x+b) = a(x_i-\bar x)$:常数平移 $b$ 完全抵消,只剩下经过缩放的偏差。

平方并取平均,$s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar x)^2 = a^2 s_x^2$。两边开平方,由于平方根总是非负的,得到 $s_y = |a|s_x$。