描述统计

均值恰恰被定义为数据的平衡点——可以想象一个在每个 $x_i$ 处都放了砝码的跷跷板——因此均值以上的值必须恰好抵消均值以下的值,否则 $\bar x$ 就不会是那个平衡点。

把求和展开:$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar x$。第二个和把常数 $\bar x$ 自身相加了 $n$ 次,所以 $\sum_{i=1}^{n}\bar x = n\bar x$。

根据定义,$\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$,两边同乘以 $n$ 得到 $n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i$。这恰好与上面展开式中的第一个和是同一个量。

代回原式:$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}x_i = 0$,这就证明了结论。

把每个数据点都平移相同的量 $b$,均值也会平移相同的量,但各点之间的相对分散程度不变;把每个点都乘以 $a$,均值和分散程度都会按 $a$ 缩放(由于分散程度不能为负,所以用 $|a|$)。

关于均值:$\bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i+b) = \frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = a\bar x + b$,这里用到 $\frac{1}{n}\sum x_i = \bar x$ 以及 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = b$。

关于分散程度,先注意到 $y_i-\bar y = (ax_i+b)-(a\bar x+b) = a(x_i-\bar x)$:常数平移 $b$ 完全抵消,只剩下经过缩放的偏差。

平方并取平均,$s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar x)^2 = a^2 s_x^2$。两边开平方,由于平方根总是非负的,得到 $s_y = |a|s_x$。