刘维尔定理

第一步(嘉当魔法公式)。对任意向量场$X$和形式$\omega$,嘉当公式给出$\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)$。取$X$为$X_H$:由于$\omega$是闭的,$d\omega=0$,且由哈密顿向量场的定义$\iota_{X_H}\omega=dH$,得到$\mathcal{L}_{X_H}\omega=d(dH)+0$。

第二步(形式本身不变)。外微分对任意函数都满足$d\circ d=0$,故$d(dH)=0$。因此$\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$:哈密顿流不仅保持体积,还保持辛形式本身。

第三步(转到最高幂)。体积形式为$\omega^n=\omega\wedge\cdots\wedge\omega$(共$n$个因子)。楔积上李导数的莱布尼茨法则给出$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=n\,\omega^{n-1}\wedge\mathcal{L}_{X_H}\omega$,由第二步$\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$,右边为零:$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$。

第四步(沿流积分)。若$\phi_t$是$X_H$的流,则$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$恰好意味着对任意$t$都有$\frac{d}{dt}\phi_t^{*}(\omega^n)=0$。由$\phi_0=\mathrm{id}$可得$\phi_0^{*}(\omega^n)=\omega^n$,积分后可知对所有$t$都有$\phi_t^{*}(\omega^n)=\omega^n$,这就是刘维尔定理。