马施克定理

第一步(从任意补空间出发)。由普通线性代数,在 $V$ 中为 $W$ 选取任意向量空间补空间 $U$(不必 $G$不变),设 $\pi: V \to W$ 为对应的投影($\pi|_W = \mathrm{id}$,$\ker\pi = U$)。

第二步(在群上取平均)。定义 $\bar\pi = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \rho(g)\, \pi\, \rho(g)^{-1}$。这之所以有意义正是因为 $\operatorname{char}(k) \nmid |G|$,故 $|G|$ 在 $k$ 中可逆。

第三步($\bar\pi$ 仍是到 $W$ 的投影)。对 $w \in W$,由于 $W$ 是 $G$不变的,$\rho(g)^{-1}w \in W$,故 $\pi(\rho(g)^{-1}w) = \rho(g)^{-1}w$,每一项都给出 $\rho(g)\pi(\rho(g)^{-1}w) = w$;对这 $|G|$ 份 $w$ 取平均得 $\bar\pi(w) = w$。对一般的 $v \in V$,$\pi(\rho(g)^{-1}v) \in W$ 总成立(是 $\pi$ 的像),故由不变性 $\rho(g)\pi(\rho(g)^{-1}v) \in \rho(g)W = W$,取平均仍在 $W$ 中;因此 $\bar\pi: V \to W$ 是到 $W$ 的投影。

第四步($\bar\pi$ 与作用可交换,故其核 $G$不变)。对任意 $h \in G$,$\rho(h)\bar\pi\rho(h)^{-1} = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g} \rho(hg)\pi\rho(hg)^{-1} = \bar\pi$,因为 $g \mapsto hg$ 只是重排求和;故 $\rho(h)\bar\pi = \bar\pi\rho(h)$。令 $W' = \ker\bar\pi$,对 $v \in W'$ 有 $\bar\pi(\rho(h)v) = \rho(h)\bar\pi(v) = \rho(h)(0) = 0$,故 $\rho(h)v \in W'$:$W'$ 是 $G$不变的,且由于 $\bar\pi$ 是到 $W$ 的投影,$V = W \oplus W'$。对 $W'$ 重复此分解(有限维保证过程终止)即把 $V$ 分解为不可约表示的直和。