舒尔引理与特征标正交性

第一步(舒尔引理,核与像)。设 $f: V \to W$ 是 $G$等变的,即对所有 $g,v$ 有 $f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v)$。则 $\ker f \subseteq V$ 是 $G$不变子空间(若 $f(v)=0$,则 $f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v) = 0$),又因 $V$ 不可约,$\ker f$ 要么为 $0$ 要么为整个 $V$。

第二步(得出 $f=0$ 或 $f$ 单射进而满射)。若 $\ker f = V$,则 $f = 0$。否则 $\ker f = 0$,故 $f$ 单射;由等变性,像 $f(V) \subseteq W$ 也是 $G$不变的,又因 $W$ 不可约且 $f(V) \ne 0$(因 $f\ne0$),故 $f(V) = W$,从而 $f$ 双射,即为同构。

第三步($V=W$ 时 $f=\lambda I$)。由于 $\mathbb{C}$ 代数闭,$f$ 有特征值 $\lambda$,其特征空间 $E_\lambda = \ker(f-\lambda I) \ne 0$。由于 $f$ 是 $G$等变的,$f - \lambda I$ 也是,故 $E_\lambda$ 是不可约 $V$ 的非零 $G$不变子空间,迫使 $E_\lambda = V$;因此 $f = \lambda I$。

第四步(由取平均得正交性)。固定基,设 $f: V_j \to V_i$ 为任意线性映射;如马施克定理中那样构造等变映射 $\bar f = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g} \rho_i(g) f \rho_j(g)^{-1}$。由第一至三步,若 $V_i \not\cong V_j$ 则 $\bar f = 0$,若 $V_i = V_j$ 则 $\bar f = \lambda I$(其中 $\lambda$ 可由迹算出)。取 $f$ 为基本矩阵单位,比较 $\bar f$ 在该等式两边的矩阵元,再对对角线求和以提取迹,恰好得到 $\dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \chi_i(g)\overline{\chi_j(g)} = \delta_{ij}$。