单调收敛定理

由于 $\int f_n\,d\mu$(随 $f_n$ 递增)是广义实数中的非减序列,极限 $L := \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ 在 $[0,\infty]$ 中存在。由于对每个 $n$ 都有 $f_n \le f$,由积分的单调性得 $\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu$ 对每个 $n$ 成立,故 $L \le \int f\,d\mu$。

为证明反向不等式,任取满足 $0 \le s \le f$ 的简单可测函数 $s$,并固定常数 $c \in (0,1)$。令 $E_n = \{x : f_n(x) \ge c\,s(x)\}$。由于 $f_n$ 逐点递增到 $f \ge s$,集合 $E_n$ 递增且其并集(几乎)是整个 $X$:对几乎所有满足 $s(x)=0$ 的 $x$ 这是自动成立的,而对几乎所有满足 $s(x)>0$ 的 $x$,由于 $f_n(x)\to f(x) \ge s(x) > c\,s(x)$,最终会有 $f_n(x) > c\,s(x)$。

写 $s = \sum_k c_k \mathbf{1}_{E_k}$,可得 $\int f_n\,d\mu \ge \int_{E_n} f_n\,d\mu \ge c\int_{E_n} s\,d\mu = c\sum_k c_k\,\mu(E_k \cap E_n)$。由可数可加性(测度从下方的连续性,因为 $E_n$ 递增到 $X$),当 $n\to\infty$ 时 $\mu(E_k \cap E_n) \to \mu(E_k)$,于是令 $n\to\infty$ 得 $L \ge c\sum_k c_k\,\mu(E_k) = c\int s\,d\mu$。

令 $c \to 1$,对每个简单函数 $s \le f$ 都有 $L \ge \int s\,d\mu$,再对所有这样的 $s$ 取上确界(正是 $\int f\,d\mu$ 的定义),得到 $L \ge \int f\,d\mu$。结合前面的 $L \le \int f\,d\mu$,即得 $L = \int f\,d\mu$。