伯克霍夫逐点遍历定理

第一步(不变的上极限与下极限)。定义 $f^*(x)=\limsup_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$ 与 $f_*(x)=\liminf_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$。由于 $S_{n+1}f(x) = f(x) + S_nf(Tx)$,两边除以 $n+1$ 并令 $n\to\infty$,可得 $f^*(Tx)=f^*(x)$ 及 $f_*(Tx)=f_*(x)$:两者都是 $T$-不变函数。

第二步(极大遍历定理)。对 $\lambda\in\mathbb R$,令 $A_\lambda=\{x: \sup_n S_nf(x)/n>\lambda\}$ 为时间平均的部分和曾经超过 $\lambda$ 的点的集合。关键的技术引理(通过考虑 $g=f-\lambda$ 及部分和的最大值 $M_n(x)=\max(0,S_1g(x),\dots,S_ng(x))$,再逐项利用 $M_n(Tx)\ge S_kg(Tx)$ 并在 $M_n>0$ 的集合上积分来证明)给出 $\int_{A_\lambda} f\,d\mu \ge \lambda\,\mu(A_\lambda)$。

第三步(把 f 与 f_ 夹逼到一起)。反证:假设 $f^*>f_*$ 在一个正测度集合上成立;则存在有理数 $\alpha<\beta$,使得 $E=\{x: f_*(x)<\alpha<\beta<f^*(x)\}$ 具有正测度。由于 $f^*,f_*$ 不变,$E$ 是 $T$-不变的,因此可以只考虑 $E$ 上的情形。对 $E$ 上的 $f-\beta$ 应用极大不等式,迫使 $\int_E f\,d\mu\ge\beta\mu(E)$;类似地对 $\alpha-f$ 应用,迫使 $\int_E f\,d\mu\le\alpha\mu(E)$;由于 $\alpha<\beta$ 且 $\mu(E)>0$,两者矛盾。因此 $f^*=f_*$ 几乎处处成立,极限 $\bar f(x)=\lim_n S_nf(x)/n$ 几乎处处存在且 $T$-不变。

第四步(积分匹配,以及遍历情形)。一个控制收敛论证(截断 $f$ 并再次利用极大不等式控制尾部)可证明 $\int_X \bar f\,d\mu = \int_X f\,d\mu$。最后,若 $T$ 是遍历的,则 $T$-不变函数 $\bar f$ 必须几乎处处为常数(这正是遍历性的定义应用于其水平集 $\{\bar f\le c\}$ 的结果,每个这样的水平集都是 $T$-不变的,因而测度为 $0$ 或 $1$);结合积分相等,该常数必为 $\int_X f\,d\mu$,由此得到 $\bar f(x)=\int_X f\,d\mu\ \text{a.e.}$。