遍历理论

这正是物理学家几十年来在没有证明的情况下使用的直觉(统计力学中玻尔兹曼的遍历假设)的严格版本:要计算某个量的长期平均,你既可以让一个系统演化很长时间并观察它,也可以在某一瞬间对整个系统系综求平均——而对遍历系统而言,这两种听起来截然不同的计算给出完全相同的答案。

第一步(不变的上极限与下极限)。定义 $f^*(x)=\limsup_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$ 与 $f_*(x)=\liminf_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$。由于 $S_{n+1}f(x) = f(x) + S_nf(Tx)$,两边除以 $n+1$ 并令 $n\to\infty$,可得 $f^*(Tx)=f^*(x)$ 及 $f_*(Tx)=f_*(x)$:两者都是 $T$-不变函数。

第二步(极大遍历定理)。对 $\lambda\in\mathbb R$,令 $A_\lambda=\{x: \sup_n S_nf(x)/n>\lambda\}$ 为时间平均的部分和曾经超过 $\lambda$ 的点的集合。关键的技术引理(通过考虑 $g=f-\lambda$ 及部分和的最大值 $M_n(x)=\max(0,S_1g(x),\dots,S_ng(x))$,再逐项利用 $M_n(Tx)\ge S_kg(Tx)$ 并在 $M_n>0$ 的集合上积分来证明)给出 $\int_{A_\lambda} f\,d\mu \ge \lambda\,\mu(A_\lambda)$。

第三步(把 f 与 f_ 夹逼到一起)。反证:假设 $f^*>f_*$ 在一个正测度集合上成立;则存在有理数 $\alpha<\beta$,使得 $E=\{x: f_*(x)<\alpha<\beta<f^*(x)\}$ 具有正测度。由于 $f^*,f_*$ 不变,$E$ 是 $T$-不变的,因此可以只考虑 $E$ 上的情形。对 $E$ 上的 $f-\beta$ 应用极大不等式,迫使 $\int_E f\,d\mu\ge\beta\mu(E)$;类似地对 $\alpha-f$ 应用,迫使 $\int_E f\,d\mu\le\alpha\mu(E)$;由于 $\alpha<\beta$ 且 $\mu(E)>0$,两者矛盾。因此 $f^*=f_*$ 几乎处处成立,极限 $\bar f(x)=\lim_n S_nf(x)/n$ 几乎处处存在且 $T$-不变。

第四步(积分匹配,以及遍历情形)。一个控制收敛论证(截断 $f$ 并再次利用极大不等式控制尾部)可证明 $\int_X \bar f\,d\mu = \int_X f\,d\mu$。最后,若 $T$ 是遍历的,则 $T$-不变函数 $\bar f$ 必须几乎处处为常数(这正是遍历性的定义应用于其水平集 $\{\bar f\le c\}$ 的结果,每个这样的水平集都是 $T$-不变的,因而测度为 $0$ 或 $1$);结合积分相等,该常数必为 $\int_X f\,d\mu$,由此得到 $\bar f(x)=\int_X f\,d\mu\ \text{a.e.}$。

如果空间是有限的,并且什么都不会被消灭(保测性),那么一个区域就不可能永远把点不断送往全新的、从未到访过的领域——最终系统必须开始重新造访已经去过的地方,原因很简单:已经没有新的地方可以安放返回的测度了。

第一步(永不返回的点)。令 $A_0=\{x\in A: T^nx\notin A\ \forall n\ge1\}$ 为 $A$ 中永不返回 $A$ 的点。集合 $A_0, T^{-1}A_0, T^{-2}A_0,\dots$ 两两不相交:若 $x\in T^{-i}A_0\cap T^{-j}A_0$ 且 $i<j$,则 $T^ix\in A_0$,但同时对 $j-i\ge1$ 有 $T^j x = T^{j-i}(T^ix) \in A$,这与 $T^ix\in A_0$ 永不返回 $A$ 矛盾。因此 $T^{-i}A_0 \cap T^{-j}A_0=\varnothing\ (i\ne j)$。

第二步(永不返回集的测度为零)。由于 $T$ 保测,对任意 $i$ 都有 $\mu(A_0)=\mu(T^{-i}A_0)$。若 $\mu(A_0)>0$,则可数个两两不交的集合 $T^{-i}A_0$($i=0,1,2,\dots$)都具有相同的正测度,其并集测度将为无穷大——但这与 $\mu(X)<\infty$(实际上 $\mu(X)=1$)矛盾。因此 $\mu(A_0)=0$。

第三步(只有限次返回的点集测度也为零)。令 $B=\{x\in A: x\ \text{returns to}\ A\ \text{only finitely often}\}$。将 $B$ 写成对 $k$ 的可数并,本质上是移位动力学下 $T^kA$ 的永不返回集,即 $B=\bigcup_{k\ge0} T^{-k}\{x\in T^kA: x\ \text{never returns to}\ T^kA\}$,每一项都可以将第一、二步的论证应用于 $T^kA$(代替 $A$,并用 $\mu(T^kA)=\mu(A)$)而得到测度为零。由可数次可加性,$\mu(B)=0$。

第四步(结论)。由于 $\mu(B)=0$,每个 $x\in A\setminus B$(在 $A$ 中具有满测度)都按 $B$ 的定义无穷多次返回 $A$。这正是定理的结论。