庞加莱回归定理

第一步(永不返回的点)。令 $A_0=\{x\in A: T^nx\notin A\ \forall n\ge1\}$ 为 $A$ 中永不返回 $A$ 的点。集合 $A_0, T^{-1}A_0, T^{-2}A_0,\dots$ 两两不相交:若 $x\in T^{-i}A_0\cap T^{-j}A_0$ 且 $i<j$,则 $T^ix\in A_0$,但同时对 $j-i\ge1$ 有 $T^j x = T^{j-i}(T^ix) \in A$,这与 $T^ix\in A_0$ 永不返回 $A$ 矛盾。因此 $T^{-i}A_0 \cap T^{-j}A_0=\varnothing\ (i\ne j)$。

第二步(永不返回集的测度为零)。由于 $T$ 保测,对任意 $i$ 都有 $\mu(A_0)=\mu(T^{-i}A_0)$。若 $\mu(A_0)>0$,则可数个两两不交的集合 $T^{-i}A_0$($i=0,1,2,\dots$)都具有相同的正测度,其并集测度将为无穷大——但这与 $\mu(X)<\infty$(实际上 $\mu(X)=1$)矛盾。因此 $\mu(A_0)=0$。

第三步(只有限次返回的点集测度也为零)。令 $B=\{x\in A: x\ \text{returns to}\ A\ \text{only finitely often}\}$。将 $B$ 写成对 $k$ 的可数并,本质上是移位动力学下 $T^kA$ 的永不返回集,即 $B=\bigcup_{k\ge0} T^{-k}\{x\in T^kA: x\ \text{never returns to}\ T^kA\}$,每一项都可以将第一、二步的论证应用于 $T^kA$(代替 $A$,并用 $\mu(T^kA)=\mu(A)$)而得到测度为零。由可数次可加性,$\mu(B)=0$。

第四步(结论)。由于 $\mu(B)=0$,每个 $x\in A\setminus B$(在 $A$ 中具有满测度)都按 $B$ 的定义无穷多次返回 $A$。这正是定理的结论。