定理 R(3, 3) = 6

**第一步(上界 $R(3,3) \le 6$)。** 任取 $K_6$ 的一个顶点 $v$。与 v 关联的 $5$ 条边染成红色或蓝色。由抽屉原理($\lceil 5/2 \rceil = 3$),至少有 $3$ 条边同色——不妨设 $vu_1, vu_2, vu_3$ 全为红边。

**第二步(对 $\{u_1, u_2, u_3\}$ 分类讨论)。** 考察 $\{u_1, u_2, u_3\}$ 内部的 $3$ 条边。若其中有一条——如 $u_1u_2$——为红边,则 $\{v, u_1, u_2\}$ 构成红色 $K_3$;否则 $u_1u_2, u_2u_3, u_3u_1$ 这 $3$ 条边全为蓝边,于是 $\{u_1, u_2, u_3\}$ 本身构成蓝色 $K_3$。

**第三步(下界 $R(3,3) > 5$)。** 用 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 标记 $K_5$ 的顶点。当 $i - j \equiv \pm 1 \pmod 5$ 时将边 $ij$ 染红,当 $i - j \equiv \pm 2 \pmod 5$ 时染蓝。两种颜色类都构成不含三角形的 $5$ 元环,从而 $R(3,3) > 5$,证得 $R(3,3) = 6$。