海林格–特普利茨定理

我们使用闭图定理(贝尔纲定理的一个标准推论)：定义在整个希尔伯特空间上的线性算子有界，当且仅当它的图 $\{(x,Tx):x\in H\}$ 在 $H\times H$ 中是闭的，即只要 $x_n\to x$ 且 $Tx_n\to y$，就必有 $y=Tx$。

设 $x_n\to x$ 且 $Tx_n\to y$。我们要证明 $y=Tx$。对任意固定的 $z\in H$，由对称性对每个 $n$ 都有 $\langle Tx_n,z\rangle=\langle x_n,Tz\rangle$。

两边取 $n\to\infty$：左边由 $Tx_n\to y$ 及内积的连续性得 $\langle Tx_n,z\rangle\to\langle y,z\rangle$；右边由 $x_n\to x$ 得 $\langle x_n,Tz\rangle\to\langle x,Tz\rangle$。于是 $\langle y,z\rangle=\langle x,Tz\rangle=\langle Tx,z\rangle$(右边再次用到对称性)。

由于 $\langle y,z\rangle=\langle Tx,z\rangle$ 对每个 $z\in H$ 都成立，故对所有 $z$ 都有 $\langle y-Tx,z\rangle=0$；取 $z=y-Tx$ 得 $\|y-Tx\|^2=0$，故 $y=Tx$。因此 $T$ 的图是闭的，由闭图定理得出 $T$ 是有界的。