莫德尔–韦伊定理

证明结合了两个要素。弱莫德尔–韦伊定理:证明 $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ 是有限群,方法是(通过伽罗瓦上同调,利用三次式的根 $e_i$ 对应的 $2$-下降映射 $P \mapsto (x(P)-e_1, x(P)-e_2, x(P)-e_3)$)把它嵌入由相关数域的理想类群与单位群构造出的群中,而这两者都是已知有限的。高度下降:给每个点赋予一个典范高度 $\hat h(P) \ge 0$,这是度量算术复杂度的实数值量,满足 $\hat h(2P) = 4\hat h(P)$,且高度低于任何给定界的点只有有限多个。把 $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ 的有限个陪集代表元,与(通过高度的平行四边形法则)反复把任意点的高度减半最终会落入有界高度区域这一事实结合起来,就说明每个点都是有限个代表元与有限个有界高度点的 $\mathbb{Z}$ 组合——因此 $E(\mathbb{Q})$ 是有限生成的。