二维全局正则性（拉德伊点斯卡雅）

将涡度（二维中为标量）写为 $\omega=\partial_x u_2-\partial_y u_1$,并将动量方程代入 $\partial_t\omega+u\cdot\nabla\omega$。因为 $u$ 无散度且为二维,直接计算表明来自 $(u\cdot\nabla)u$ 且会拉伸 $\omega$ 的所有项都相互抵消,只剩下无源项的输送扩散方程 $\omega_t+u\cdot\nabla\omega=\nu\Delta\omega$。

无源项的输送扩散方程满足最大原理:沿着流体粒子的轨迹 $\dot X(t)=u(X(t),t)$,有 $\frac{d}{dt}\omega(X(t),t)=\nu\Delta\omega(X(t),t)$,而扩散不会增大最大值或减小最小值。因此对所有 $t\ge0$ 有 $\|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty}\le\|\omega_0\|_{L^\infty}$:涡度从不爆发。

一旦涡度在时间上一致有界,对流函数（从 $\omega$ 恢复 $u$）应用椅圆正则性,就能用 $\|\omega\|_{L^\infty}$ 控制 $u$ 的所有空间导数,因此 $u$ 保持在它最初所在的每个索尔空间中。

重复这一论证 —— 有界涡度给出有界速度梯度,后者又通过方程本身控制高阶导数 —— 表明解在所有 $t>0$ 上保持光滑,不可能发生有限时间爆发；这正是在存在涡拉伸项 $(\omega\cdot\nabla)u$ 的三维情况中尚未知晓的结果。