列雷的全局弱解（1934）

用加尔金投影法近似方程:选取斯托克斯算子的特征函数作为基,将方程投影到前 $n$ 个基张成的空间上,求解得到的有限维常微分方程组得到近似解 $u_n$；标准常微分方程理论保证其在短时间区间内存在。

将加尔金方程与 $u_n$ 本身作内积。非线性项和压力项会消失（利用无散度约束后它们与 $u_n$ 正交）,得到能量恒等式 $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u_n\|_{L^2}^{2}+\nu\|\nabla u_n\|_{L^2}^{2}=0$。对时间积分可得 $u_n$ 在 $L^{\infty}(L^2)\cap L^2(H^1)$ 中对 $n$ 一致有界,特别地短时解可延展到全时间。

这些一致性界使我们可以取出 $u_n$ 的一个子列,在 $L^{\infty}(L^2)$ 中弱*收敛,在 $L^2(H^1)$ 中弱收敛到某极限 $u$。Aubin–Lions 紧致性引理将其提升为在有界时空区域上的 $L^2$ 强收敛,这正是对二次非线性项 $(u_n\cdot\nabla)u_n\to(u\cdot\nabla)u$ 取极限所需要的。

在加尔金方程的弱形式中取极限表明 $u$ 在分布意义下满足纳维-斯托克斯方程,而范数在极限下的弱下半连续性保持了能量不等式。这个 $u$ 就是列雷的全局弱解；它是否唯一且光滑正是悬而未决的千禧年问题本身。