正则公理禁止自我从属

为导出矛盾,假设某集合 $x$ 满足 $x \in x$。

由配对公理,集合 $\{x\}$ 存在(把 $x$ 与自身配对)。该集合非空,因为它包含 $x$。

对非空集合 $\{x\}$ 应用正则公理:必存在 $y \in \{x\}$ 使得 $\{x\} \cap y = \emptyset$。但 $\{x\}$ 唯一的元素就是 $x$ 本身,故 $y = x$,结论变为 $\{x\} \cap x = \emptyset$。

现在回顾反证假设 $x \in x$。由于 $x \in \{x\}$(由配对的定义)且 $x \in x$(我们的假设),元素 $x$ 同时属于 $\{x\}$ 与 $x$,故 $x \in \{x\} \cap x$。这说明 $\{x\} \cap x$ 非空,与上面得到的 $\{x\} \cap x = \emptyset$ 直接矛盾。

这一矛盾说明假设 $x \in x$ 对任何集合 $x$ 都不可能成立;因此对每个集合 $x$,$x \notin x$ 成立,正如所声称的。