a≠0 时解唯一

存在性。 从 $ax+b=0$ 出发,两边同加 $-b$ 不会破坏平衡,得到 $ax=-b$。因为 $a\neq0$,两边可以同除以 $a$,平衡依旧保持,得到 $x=-\dfrac{b}{a}$。把它代回原方程,$a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b=-b+b=0$,确实满足方程——解存在。

唯一性。 设 $x_1$、$x_2$ 都是解,即 $ax_1+b=0$ 且 $ax_2+b=0$。两式相减消去 $b$,得 $a x_1 - a x_2 = 0$,即 $a(x_1-x_2)=0$。由于 $a\neq0$,两数之积为零只能是另一个因子为零,故 $x_1-x_2=0$,即 $x_1=x_2$。因此不可能有两个不同的数同时是解:上面求出的解就是唯一的解。