一元一次方程

这正是称之为“一次”方程的原因:只要 a 不为零,一个未知数就对应一个明确的答案,绝不会有两个,也绝不会无解。

存在性。 从 $ax+b=0$ 出发,两边同加 $-b$ 不会破坏平衡,得到 $ax=-b$。因为 $a\neq0$,两边可以同除以 $a$,平衡依旧保持,得到 $x=-\dfrac{b}{a}$。把它代回原方程,$a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b=-b+b=0$,确实满足方程——解存在。

唯一性。 设 $x_1$、$x_2$ 都是解,即 $ax_1+b=0$ 且 $ax_2+b=0$。两式相减消去 $b$,得 $a x_1 - a x_2 = 0$,即 $a(x_1-x_2)=0$。由于 $a\neq0$,两数之积为零只能是另一个因子为零,故 $x_1-x_2=0$,即 $x_1=x_2$。因此不可能有两个不同的数同时是解:上面求出的解就是唯一的解。

这说明“一次方程”这个名称其实依赖于 x 的系数不为零——一旦去掉这个条件,“唯一答案”这个概念就会崩塌成“任何答案都行”或“没有答案”两种极端情形。

把 $a=0$ 直接代入 $ax+b=0$:对任意实数 $x$,项 $ax$ 都变为 $0\cdot x=0$,因为任何数乘以0都是0。于是方程就变成了 $b=0$,这是一个只关于 $b$、完全不再提及 $x$ 的命题。

此时固定的数 $b$ 恰好只有两种可能。若 $b=0$,剩下的命题“$0=0$”对代入的任何 $x$ 都成立——于是任何实数 $x$ 都满足原方程,得到无穷多个解。反之若 $b\neq0$,剩下的命题“$b=0$”本身就是假的——无论代入什么 $x$,都无法把一个错误的数值命题变成真的,所以无论试哪个 $x$,方程都完全无解。