线性化（李雅普诺夫间接法）

由于 $A$ 的每个特征值实部为负（$A$ 为黄斯矩阵）,矩阵方程 $A^{T}P+PA=-I$ 有唯一对称正定解 $P$,由收敛积分 $P=\int_0^{\infty}e^{A^{T}t}e^{At}\,dt$ 显式给出。

对偏离 $\xi=x-x^{*}$ 定义候选李雅普诺夫函数 $V(\xi)=\xi^{T}P\xi\ge0$。将非线性系统写为 $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$,其中当 $\xi\to0$ 时 $g(\xi)=o(\|\xi\|)$（泰勒余项）,计算沿非线性轨迹 $V$ 的时间导数。

用 $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$: $\dot V=\dot\xi^{T}P\xi+\xi^{T}P\dot\xi=\xi^{T}(A^{T}P+PA)\xi+2\xi^{T}Pg(\xi)=-\|\xi\|^{2}+2\xi^{T}Pg(\xi)$。因为 $g(\xi)=o(\|\xi\|)$,存在 $x^{*}$ 的一个這邻域使得 $2\xi^{T}Pg(\xi)\le\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}$,因此在那里 $\dot V\le-\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}<0$（$\xi\ne0$）。

由于 $V$ 正定且 $\dot V$ 在 $x^{*}$ 附近负定,李雅普诺夫直接法（随后证明）表明从该鄰域出发的轨迹收敛到 $x^{*}$:渐近稳定。对于不稳定情况,若 $A$ 有一个实部为正的特征值,对称构造（切塔夫不稳定性定理）给出一个 $V$ 增大的方向,表明无论起点多么靠近,轨迹都会被推离 $x^{*}$。