动力系统的稳定性

在 $x^{*}$ 附近,非线性项远小于线性项,因此若线性部分在每个方向上都指数收缩,那么这种收缩就会占主导,并把真实轨迹也拉回 $x^{*}$。

由于 $A$ 的每个特征值实部为负（$A$ 为黄斯矩阵）,矩阵方程 $A^{T}P+PA=-I$ 有唯一对称正定解 $P$,由收敛积分 $P=\int_0^{\infty}e^{A^{T}t}e^{At}\,dt$ 显式给出。

对偏离 $\xi=x-x^{*}$ 定义候选李雅普诺夫函数 $V(\xi)=\xi^{T}P\xi\ge0$。将非线性系统写为 $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$,其中当 $\xi\to0$ 时 $g(\xi)=o(\|\xi\|)$（泰勒余项）,计算沿非线性轨迹 $V$ 的时间导数。

用 $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$: $\dot V=\dot\xi^{T}P\xi+\xi^{T}P\dot\xi=\xi^{T}(A^{T}P+PA)\xi+2\xi^{T}Pg(\xi)=-\|\xi\|^{2}+2\xi^{T}Pg(\xi)$。因为 $g(\xi)=o(\|\xi\|)$,存在 $x^{*}$ 的一个這邻域使得 $2\xi^{T}Pg(\xi)\le\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}$,因此在那里 $\dot V\le-\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}<0$（$\xi\ne0$）。

由于 $V$ 正定且 $\dot V$ 在 $x^{*}$ 附近负定,李雅普诺夫直接法（随后证明）表明从该鄰域出发的轨迹收敛到 $x^{*}$:渐近稳定。对于不稳定情况,若 $A$ 有一个实部为正的特征值,对称构造（切塔夫不稳定性定理）给出一个 $V$ 增大的方向,表明无论起点多么靠近,轨迹都会被推离 $x^{*}$。

将 $V$ 看作一种广义能量:若能量沿轨迹从不增加,且仅在 $x^{*}$ 处为零,系统就不能漂离 $x^{*}$；若能量严格减少,它最终必须停在唯一的零点上。

固定足够小的 $\varepsilon>0$,使得闭球 $\{\|x-x^{*}\|\le\varepsilon\}$ 位于 $V$ 的定义域内且除 $x^{*}$ 外为正,设其边界球面为 $S_\varepsilon=\{\|x-x^{*}\|=\varepsilon\}$。由于 $V$ 在紧致集 $S_\varepsilon$ 上连续且严格为正,它取得最小值 $m=\min_{S_\varepsilon}V>0$。

由 $V$ 的连续性及 $V(x^{*})=0$,选取足够小的 $\delta\in(0,\varepsilon)$ 使 $\|x(0)-x^{*}\|<\delta$ 推出 $V(x(0))<m$。

因沿轨迹有 $\dot V\le0$,对解存在的每个 $t\ge0$ 都有 $V(x(t))\le V(x(0))<m$。$S_\varepsilon$ 上每一点都有 $V\ge m$,因此轨迹永远不能到达 $S_\varepsilon$；由 $t\mapsto x(t)$ 的连续性,它必须对所有 $t\ge0$ 保持在半径 $\varepsilon$ 的球内。这正是李雅普诺夫稳定性的定义。

若此外附近 $x\ne x^{*}$ 时严格 $\dot V(x)<0$,则 $V(x(t))$ 严格递减且下有界于 $0$,因此收敛到某极限 $c\ge0$。若 $c>0$,轨迹将停留在 $V\ge c>0$ 的紧致环形区域中,在那里 $\dot V$ 取得严格负的最大值,这会迫使 $V$ 在有限时间内降到 $c$ 以下 —— 矛盾。因此 $c=0$,由于 $V$ 正定,这迫使 $x(t)\to x^{*}$:渐近稳定。