李雅普诺夫直接法（第二法）

固定足够小的 $\varepsilon>0$,使得闭球 $\{\|x-x^{*}\|\le\varepsilon\}$ 位于 $V$ 的定义域内且除 $x^{*}$ 外为正,设其边界球面为 $S_\varepsilon=\{\|x-x^{*}\|=\varepsilon\}$。由于 $V$ 在紧致集 $S_\varepsilon$ 上连续且严格为正,它取得最小值 $m=\min_{S_\varepsilon}V>0$。

由 $V$ 的连续性及 $V(x^{*})=0$,选取足够小的 $\delta\in(0,\varepsilon)$ 使 $\|x(0)-x^{*}\|<\delta$ 推出 $V(x(0))<m$。

因沿轨迹有 $\dot V\le0$,对解存在的每个 $t\ge0$ 都有 $V(x(t))\le V(x(0))<m$。$S_\varepsilon$ 上每一点都有 $V\ge m$,因此轨迹永远不能到达 $S_\varepsilon$；由 $t\mapsto x(t)$ 的连续性,它必须对所有 $t\ge0$ 保持在半径 $\varepsilon$ 的球内。这正是李雅普诺夫稳定性的定义。

若此外附近 $x\ne x^{*}$ 时严格 $\dot V(x)<0$,则 $V(x(t))$ 严格递减且下有界于 $0$,因此收敛到某极限 $c\ge0$。若 $c>0$,轨迹将停留在 $V\ge c>0$ 的紧致环形区域中,在那里 $\dot V$ 取得严格负的最大值,这会迫使 $V$ 在有限时间内降到 $c$ 以下 —— 矛盾。因此 $c=0$,由于 $V$ 正定,这迫使 $x(t)\to x^{*}$:渐近稳定。