彭罗斯奇点定理（1965）

第一步（用符号表述囚陷面）。 设 $S$ 是一个闭合的类空二维曲面，$\theta$ 表示从 $S$ 正交出发的零测地线束的膨胀率——即光束横截面积增长的相对速率。远离任何质量处，外向光束膨胀（$\theta_{\text{out}}>0$），内向光束收缩（$\theta_{\text{in}}<0$）。若在整个 $S$ 上反而有 $\theta_{\text{out}}<0, \qquad \theta_{\text{in}}<0$，则称 $S$ 是囚陷的：即使是向外的光也在被拖向内部。

第二步（雷查德胡里方程）。 沿切向量为 $k^a$ 的零测地同余族，对膨胀率的定义 $\theta=\nabla_a k^a$ 求导，并利用黎曼张量的定义交换导数次序，得到精确的运动学恒等式 $$\frac{d\theta}{d\lambda} = -\frac{\theta^2}{2} - \sigma_{ab}\sigma^{ab} - R_{ab}k^ak^b$$，其中 $\sigma_{ab}$ 是该同余族的剪切张量。这个方程纯粹是几何性的——在假设任何物理之前，它由曲率的定义得出，说明任何一族光线必然如何弯曲。

第三步（能量条件迫使进一步会聚）。 物理上合理的物质满足零能量条件 $$R_{ab}k^ak^b \ge 0$$，且剪切项 $\sigma_{ab}\sigma^{ab}\ge0$ 恒成立（它是平方和）；从第二步恒等式右边去掉这两个非负项，得到不等式 $$\frac{d\theta}{d\lambda} \le -\frac{\theta^2}{2}$$

第四步（里卡蒂不等式迫使在有限时间内发散）。 在囚陷面上，$\lambda=0$ 时 $\theta_0<0$。只要 $\theta$ 保持为负，将不等式除以 $\theta^2>0$ 并整理，得到 $$\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\theta}\right) \ge \frac12 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\theta(\lambda)} \ge \frac{1}{\theta_0}+\frac{\lambda}{2}$$ 由于右边随 $\lambda$ 增大而无界增长，而 $1/\theta$（为负）必须满足此下界，$1/\theta$ 被迫趋向 $0^-$，即在某个有限仿射参数 $\lambda_*\le 2/|\theta_0|$ 处 $\theta\to-\infty$：与 $S$ 正交的零测地同余族必须在有限仿射时间内出现共轭点（散焦面，相邻光线在此相交）。

第五步（从局部会聚到整体不完备）。 因果结构理论的一个标准结果（此处引用但不重新推导）表明，整体双曲时空中的零测地线在经过共轭点之后不能保持因果边界性（不能停留在某集合未来的边界上）。结合非紧的柯西曲面，这就排除了测地线回环或以通常方式终止的可能，从而迫使至少一条与 $S$ 正交的零测地线未来不完备：它无法延伸到任意大的仿射参数。根据定义，这种不完备性正是彭罗斯所说的奇点——该定理表明，只要囚陷面形成，无需任何对称性假设，奇点就必然出现。