光子球与最内稳定圆轨道

第一步（守恒量与径向方程）。 沿限制在赤道面 $\theta=\pi/2$ 上的任意测地线（类时 $\kappa=-c^2$，或零测地线 $\kappa=0$），度规不依赖于 $t$ 和 $\phi$ 给出两个守恒量 $\tilde E = (1-r_s/r)c^2\dot t$ 和 $\tilde L = r^2\dot\phi$（点 $=d/d\tau$）。将其代入归一化条件 $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\kappa$ 并化简，对类时运动得到 $$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{\tilde L^2}{r^2}\right) \equiv \tilde E^2 - V^2_{\text{eff}}(r)$$

第二步（圆轨道条件）。 展开得到 $$V^2_{\text{eff}}(r) = c^2 - \frac{c^2 r_s}{r} + \frac{\tilde L^2}{r^2} - \frac{\tilde L^2 r_s}{r^3}$$ 圆轨道要求 $r$ 恒定，即任意时刻都有 $dr/d\tau=0$，这要求 $\tilde E^2=V^2_{\text{eff}}(r)$ 且（为使 $r$ 不发生漂移）$dV^2_{\text{eff}}/dr=0$：$$\frac{d}{dr}V^2_{\text{eff}} = \frac{c^2 r_s}{r^2} - \frac{2\tilde L^2}{r^3} + \frac{3\tilde L^2 r_s}{r^4} = 0$$

第三步（解出圆轨道的角动量）。 两边乘以 $r^4$ 并解出 $\tilde L^2$，得到维持半径 $r$ 处圆轨道所需的角动量：$$\tilde L^2(r) = \frac{c^2 r_s r^2}{2r-3r_s}$$ 这已经包含了光子球的信息：当 $r\to (3/2)r_s$ 从上方趋近时，分母 $2r-3r_s\to0^+$，$\tilde L^2\to+\infty$——没有任何有限角动量能在如此靠近处维持圆轨道，这正是下面达到的无质量（光子）极限。

第四步（边缘稳定性——ISCO）。 当 $r$ 从无穷远减小时，$\tilde L^2(r)$ 先减小，达到极小值，然后在 $r=3r_s/2$ 处发散；圆轨道稳定当且仅当进一步缩小 $r$ 需要增大 $\tilde L^2$（即稳定性由 $d\tilde L^2/dr$ 的符号决定）。对第三步的结果求导，$$\frac{d\tilde L^2}{dr} = \frac{2c^2 r_s\,r(r-3r_s)}{(2r-3r_s)^2}$$ 它在 $r=0$（排除）、$r=3r_s$ 处为零，在 $r>3r_s/2$ 范围内再无其他零点。这个唯一的内部根就是边缘稳定半径：$$r_{\text{ISCO}} = 3r_s = \dfrac{6GM}{c^2}$$ 当 $r>3r_s$ 时轨道稳定（$d\tilde L^2/dr>0$，与开普勒问题一样，$r$ 越大需要的角动量越大）；当 $3r_s/2<r<3r_s$ 时轨道不稳定。

第五步（由零测地线得到光子球）。 对零测地线，令 $\kappa=0$ 作同样代换，得到 $$\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 = E^2 - \frac{L^2}{r^2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \equiv E^2 - V^2_{\gamma}(r)$$，其中 $$V^2_\gamma(r) = L^2\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right)$$。令括号内表达式的导数为零，$$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right) = -\frac{2}{r^3}+\frac{3r_s}{r^4}=0 \;\Longrightarrow\; r=\frac{3r_s}{2}$$ 直接给出圆形光子轨道的唯一半径，$$r_{\text{ph}} = \dfrac{3}{2}r_s = \dfrac{3GM}{c^2}$$，与第三步得到的极限一致；它是不稳定的，因为括号 $1/r^2-r_s/r^3$ 在该处取局部极大值而非极小值——任何向内的扰动都会使光子螺旋坠入视界，任何向外的扰动都会使它逃逸到无穷远。