调和函数的均值性质

不失一般性,设圆盘中心为原点($x_0 = 0$),对 $0 \le r \le R$ 定义 $\phi(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(r\cos\theta, r\sin\theta)\, d\theta$,即 $u$ 在半径为 $r$ 的圆上的平均值。我们通过证明 $\phi'(r) = 0$ 来说明 $\phi$ 是常数。

在积分号下求导,得 $\phi'(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \nabla u(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot (\cos\theta, \sin\theta)\, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial n}\, d\theta$,因为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 正是半径为 $r$ 的圆上的外法向单位向量。乘以并除以 $r$,便把它化为圆 $\partial B_r$ 上法向导数的规范化边界积分。

由散度定理,由于 $u$ 调和,故 $\int_{\partial B_r} \frac{\partial u}{\partial n}\, ds = \int_{B_r} \nabla^2 u \, dA = 0$。因此在定义域内的每个 $r$ 处都有 $\phi'(r) = 0$,于是对所有这样的 $r$ 都有 $\phi(r) = \phi(0^+) = u(x_0)$:以 $x_0$ 为中心的任意圆上的平均值都等于 $u(x_0)$ 本身,而在 $0 \le r \le R$ 上对这个常数值取平均,同样得到实心圆盘上的平均值也等于 $u(x_0)$。