拉普拉斯方程

调和函数不偏向任何方向:因为它在每一点的净曲率为零($x$ 方向与 $y$ 方向的曲率之和恰好抵消),所以沿着以某点为中心的圆周走一圈,平均而言既不会向上凸起也不会向下凹陷——唯一与之自洽的中心值就是圆周上的平均值。

不失一般性,设圆盘中心为原点($x_0 = 0$),对 $0 \le r \le R$ 定义 $\phi(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(r\cos\theta, r\sin\theta)\, d\theta$,即 $u$ 在半径为 $r$ 的圆上的平均值。我们通过证明 $\phi'(r) = 0$ 来说明 $\phi$ 是常数。

在积分号下求导,得 $\phi'(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \nabla u(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot (\cos\theta, \sin\theta)\, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial n}\, d\theta$,因为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 正是半径为 $r$ 的圆上的外法向单位向量。乘以并除以 $r$,便把它化为圆 $\partial B_r$ 上法向导数的规范化边界积分。

由散度定理,由于 $u$ 调和,故 $\int_{\partial B_r} \frac{\partial u}{\partial n}\, ds = \int_{B_r} \nabla^2 u \, dA = 0$。因此在定义域内的每个 $r$ 处都有 $\phi'(r) = 0$,于是对所有这样的 $r$ 都有 $\phi(r) = \phi(0^+) = u(x_0)$:以 $x_0$ 为中心的任意圆上的平均值都等于 $u(x_0)$ 本身,而在 $0 \le r \le R$ 上对这个常数值取平均,同样得到实心圆盘上的平均值也等于 $u(x_0)$。

均值性质表明,内部每一点的值都等于周围一整个圆上取值的平均。只有当被平均的所有值都已经等于整体最大值时,平均值才能等于该最大值——因此真正孤立的内部峰值是不可能的:如果中心已经尽可能高,那么周围整个圆盘也必须同样高,而这一现象会一直向外扩散,直到抵达边界。

假设 $u$ 在内部点 $x_0 \in \Omega$ 处取得其在 $\overline{\Omega}$ 上的最大值 $M$。令 $S = \{x \in \Omega : u(x) = M\}$;由连续性,$S$ 在 $\Omega$ 中是闭的,且因 $x_0 \in S$ 而非空。

$S$ 同时也是开的:对任意 $x_1 \in S$,取一个小圆盘 $B_r(x_1) \subset \Omega$。由均值性质,$M = u(x_1) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(x_1 + r\cos\theta, x_1 + r\sin\theta)\, d\theta$,这是一些都 $\le M$ 的值的平均。上界为 $M$ 的量的平均只有在这些量全部等于 $M$ 时才能等于 $M$,故 $u \equiv M$ 在整个圆周 $\partial B_r(x_1)$ 上成立,再对不超过 $r$ 的每个半径应用同样论证,在整个圆盘 $B_r(x_1)$ 上也成立。因此 $x_1$ 的一个邻域包含于 $S$,故 $S$ 是开的。

由于 $\Omega$ 连通,且 $S$ 是 $\Omega$ 中既开又闭的非空子集,必有 $S = \Omega$,即 $u \equiv M$ 在整个 $\Omega$ 上成立。但假设 $u$ 非常数,矛盾。因此不存在内部最大值;将同样论证应用于(同样调和的)$-u$,可排除内部最小值,于是两个极值都只能出现在 $\partial\Omega$ 上。