调和函数的极值原理

假设 $u$ 在内部点 $x_0 \in \Omega$ 处取得其在 $\overline{\Omega}$ 上的最大值 $M$。令 $S = \{x \in \Omega : u(x) = M\}$;由连续性,$S$ 在 $\Omega$ 中是闭的,且因 $x_0 \in S$ 而非空。

$S$ 同时也是开的:对任意 $x_1 \in S$,取一个小圆盘 $B_r(x_1) \subset \Omega$。由均值性质,$M = u(x_1) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(x_1 + r\cos\theta, x_1 + r\sin\theta)\, d\theta$,这是一些都 $\le M$ 的值的平均。上界为 $M$ 的量的平均只有在这些量全部等于 $M$ 时才能等于 $M$,故 $u \equiv M$ 在整个圆周 $\partial B_r(x_1)$ 上成立,再对不超过 $r$ 的每个半径应用同样论证,在整个圆盘 $B_r(x_1)$ 上也成立。因此 $x_1$ 的一个邻域包含于 $S$,故 $S$ 是开的。

由于 $\Omega$ 连通,且 $S$ 是 $\Omega$ 中既开又闭的非空子集,必有 $S = \Omega$,即 $u \equiv M$ 在整个 $\Omega$ 上成立。但假设 $u$ 非常数,矛盾。因此不存在内部最大值;将同样论证应用于(同样调和的)$-u$,可排除内部最小值,于是两个极值都只能出现在 $\partial\Omega$ 上。