热方程的弱极值原理

固定 $\varepsilon>0$,令 $v(x,t) = u(x,t) - \varepsilon t$,则在开矩形的每一点都有 $v_t - \alpha v_{xx} = u_t - \varepsilon - \alpha u_{xx} = -\varepsilon < 0$。反证:假设 $v$ 在闭矩形上的最大值在抛物边界之外的内点 $(x_0,t_0)$(其中 $0<x_0<L$,$0<t_0\le T$)处取得。

因为 $x_0$ 是空间方向的内部极大点,由二阶导数判据得 $v_{xx}(x_0,t_0)\le 0$。因为 $t_0$ 是 $t\in[0,T]$ 上取得最大值之处(若为内部临界时刻则 $v_t(x_0,t_0)=0$;若为端点 $t_0=T$ 从左逼近则 $v_t(x_0,t_0)\ge 0$),两种情形下均有 $v_t(x_0,t_0)\ge 0$。

结合两个不等式,$v_t(x_0,t_0) - \alpha v_{xx}(x_0,t_0) \ge 0 - \alpha\cdot 0 = 0$,这与处处成立的 $v_t-\alpha v_{xx}=-\varepsilon<0$ 矛盾。故不存在这样的内部极大点,于是 $v$ 的最大值落在抛物边界 $\Gamma$(初始边与两条侧边)上,从而处处有 $u(x,t) \le \varepsilon t + \max_{\Gamma} u$。令 $\varepsilon \to 0^+$ 即证得 $u$ 本身的极值原理。