热方程

具有这些特定频率的正弦函数,正是能在两端保持零温、同时随时间独立衰减的那些形状;由于任何合理的初始形状都可以写成这类正弦波之和(傅里叶正弦级数),同样的分解立刻给出以后任意时刻的解。

寻求分离变量形式的解 $u(x,t)=X(x)T(t)$。代入 $u_t = \alpha u_{xx}$ 得 $X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t)$,两边除以 $\alpha X(x)T(t)$ 即可分离变量:$\dfrac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \dfrac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$。左边只依赖 $t$,右边只依赖 $x$,故 $\lambda$ 必为常数。

边界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0$ 迫使 $X(0)=X(L)=0$。在此边界条件下,特征值问题 $X'' + \lambda X = 0$ 仅当 $\lambda_n = (n\pi/L)^2$($n=1,2,3,\dots$)时才有非平凡解,对应特征函数 $\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$;其余 $\lambda$ 值都迫使 $X \equiv 0$。解 $T'(t) = -\alpha\lambda_n T(t)$ 得 $T_n(t) = e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$。

每个乘积 $u_n(x,t) = \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ 都满足方程与边界条件。由线性性,有限和乃至(在温和收敛条件下)无穷和 $u(x,t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ 同样满足。令 $t=0$,并利用正交关系 $\int_0^L \sin(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{m\pi x}{L})\,dx = 0$(当 $n \ne m$;当 $n=m$ 时 $=L/2$)将 $f(x)$ 投影到各模态上,恰好得到系数 $b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$,于是初始条件 $u(x,0) = f(x)$ 逐项匹配。

热量除了来自初始数据和边界温度之外别无他源:如果某个隐藏的内部点在之后某一时刻成为唯一的最热点,那么热量必须在那里凭空产生,而扩散过程不允许这种事——扩散只会把热量从热处搬到冷处,绝不会在空白处凭空制造出新的峰值。

固定 $\varepsilon>0$,令 $v(x,t) = u(x,t) - \varepsilon t$,则在开矩形的每一点都有 $v_t - \alpha v_{xx} = u_t - \varepsilon - \alpha u_{xx} = -\varepsilon < 0$。反证:假设 $v$ 在闭矩形上的最大值在抛物边界之外的内点 $(x_0,t_0)$(其中 $0<x_0<L$,$0<t_0\le T$)处取得。

因为 $x_0$ 是空间方向的内部极大点,由二阶导数判据得 $v_{xx}(x_0,t_0)\le 0$。因为 $t_0$ 是 $t\in[0,T]$ 上取得最大值之处(若为内部临界时刻则 $v_t(x_0,t_0)=0$;若为端点 $t_0=T$ 从左逼近则 $v_t(x_0,t_0)\ge 0$),两种情形下均有 $v_t(x_0,t_0)\ge 0$。

结合两个不等式,$v_t(x_0,t_0) - \alpha v_{xx}(x_0,t_0) \ge 0 - \alpha\cdot 0 = 0$,这与处处成立的 $v_t-\alpha v_{xx}=-\varepsilon<0$ 矛盾。故不存在这样的内部极大点,于是 $v$ 的最大值落在抛物边界 $\Gamma$(初始边与两条侧边)上,从而处处有 $u(x,t) \le \varepsilon t + \max_{\Gamma} u$。令 $\varepsilon \to 0^+$ 即证得 $u$ 本身的极值原理。