分离变量法给出解的存在性

寻求分离变量形式的解 $u(x,t)=X(x)T(t)$。代入 $u_t = \alpha u_{xx}$ 得 $X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t)$,两边除以 $\alpha X(x)T(t)$ 即可分离变量:$\dfrac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \dfrac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$。左边只依赖 $t$,右边只依赖 $x$,故 $\lambda$ 必为常数。

边界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0$ 迫使 $X(0)=X(L)=0$。在此边界条件下,特征值问题 $X'' + \lambda X = 0$ 仅当 $\lambda_n = (n\pi/L)^2$($n=1,2,3,\dots$)时才有非平凡解,对应特征函数 $\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$;其余 $\lambda$ 值都迫使 $X \equiv 0$。解 $T'(t) = -\alpha\lambda_n T(t)$ 得 $T_n(t) = e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$。

每个乘积 $u_n(x,t) = \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ 都满足方程与边界条件。由线性性,有限和乃至(在温和收敛条件下)无穷和 $u(x,t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ 同样满足。令 $t=0$,并利用正交关系 $\int_0^L \sin(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{m\pi x}{L})\,dx = 0$(当 $n \ne m$;当 $n=m$ 时 $=L/2$)将 $f(x)$ 投影到各模态上,恰好得到系数 $b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$,于是初始条件 $u(x,0) = f(x)$ 逐项匹配。