皮卡-林德勒夫存在唯一性定理

把初值问题改写为积分方程,连续函数 $y(x)$ 求解 $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ 当且仅当它求解 $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$;这一等价性由微积分基本定理得出。

在连续函数上定义皮卡迭代算子 $T$,即 $T[y](x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$,限制在选取的小区间 $I=[x_0-h,x_0+h]$ 上,使 $f$ 始终留在假设成立的矩形内。

对 $I$ 上任意两个连续函数 $y_1,y_2$,由利普希茨条件得 $|T[y_1](x)-T[y_2](x)| \le \int_{x_0}^x |f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))|\,dt \le L\,h\,\sup_{t\in I}|y_1(t)-y_2(t)|$。选取足够小的 $h$ 使 $Lh<1$,则 $T$ 在上确界范数下是压缩映射。

由巴拿赫不动点定理,完备度量空间(带上确界范数的 $I$ 上连续函数空间)上的压缩映射恰有一个不动点 $y$,满足 $y=T[y]$。这个不动点正是原初值问题在 $I$ 上的唯一解。