微分方程与动力系统

一阶微分方程

联系函数与其一阶导数的方程,通过分离变量法或积分因子法求解。

直观它现在变化得有多快?

许多现象最容易描述的不是量本身的公式,而是该量变化速度的规则:种群按当前规模的比例增长,一杯热咖啡以与室温之差成比例的速度冷却,正在充电的电容器电压越接近充满上升得越慢。一阶微分方程正是这样一种规则——它把未知函数 $y(x)$ 与其自身的导数 $y'(x)$ 联系起来——求解它意味着从变化率的规则中恢复出整个函数。

一阶常微分方程

y' = y - c x^2

的方向场以及从不同初值

y(t_0) = y_0

出发的三条积分曲线。

大学可分离方程与线性方程

定义: 可分离方程

一阶方程可分离,是指它能写成 $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ 的形式:右端分解为只依赖 $x$ 的部分与只依赖 $y$ 的部分之积。把所有含 $y$ 的项移到一边、含 $x$ 的项移到另一边,方程就化为两个普通积分 $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx$ 。

\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)

例如,自治方程 $\frac{dy}{dx}=g(y)$ (变化率只依赖当前值 $y$ ,而不依赖 $x$ )是 $f(x)=1$ 的特殊情形;其平衡解恰好出现在 $g(y)=0$ 处,若不小心用 $g(y)$ 去除,这些常数解很容易丢失。

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

一阶方程的类型
类型	标准形式	求解方法
可分离型	$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$	两边积分: $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx$
一阶线性	$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$	乘以 $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$ 后积分
自治型	$\frac{dy}{dx}=g(y)$	可分离型的特殊情形;平衡点在 $g(y)=0$

大学求解与保证解的存在

定理: 积分因子公式

若 $P(x)$ 与 $Q(x)$ 在某区间上连续,且 $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$ ,则线性方程 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 的每个解都由 $y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x) Q(x)\,dx + C\right)$ 给出。

为什么成立?

这个技巧类似于配方法:给整个方程乘以一个巧妙选取的因子 $\mu(x)$ ,使左边化为单一乘积 $\mu(x)y(x)$ 的导数,从而把微分方程变成可以直接积分的东西。

证明

令 $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$ ;由链式法则求导,因指数 $\int P(x)\,dx$ 的导数为 $P(x)$ ,得 $\mu'(x)=P(x)\mu(x)$ 。

将 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 两边乘以 $\mu(x)$ :得到 $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$ 。

由乘积法则, $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)y'(x) + \mu'(x)y(x)$ ,又 $\mu'(x)=P(x)\mu(x)$ ,这恰好等于上式左边 $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y$ 。故方程化为 $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)Q(x)$ 。

两边对 $x$ 积分,得 $\mu(x)y(x) = \int \mu(x)Q(x)\,dx + C$ ( $C$ 为任意常数)。两边除以 $\mu(x)$ (它是指数函数,永不为零)得到 $y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x) Q(x)\,dx + C\right)$ 。

定理: 皮卡-林德勒夫存在唯一性定理

设 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近的一个矩形上连续,且关于 $y$ 满足利普希茨条件:存在常数 $L$ 使 $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|$ 。则初值问题 $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ 在包含 $x_0$ 的某区间上有唯一解。

为什么成立?

利普希茨条件限制了 $f$ 在 $y$ 方向变化的陡峭程度,这防止了邻近的解轨迹分裂或交叉:这正是保证存在一个良定义的流、每点恰好有一条轨迹通过所需要的条件。

证明

把初值问题改写为积分方程,连续函数 $y(x)$ 求解 $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ 当且仅当它求解 $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$ ;这一等价性由微积分基本定理得出。

在连续函数上定义皮卡迭代算子 $T$ ,即 $T[y](x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$ ,限制在选取的小区间 $I=[x_0-h,x_0+h]$ 上,使 $f$ 始终留在假设成立的矩形内。

对 $I$ 上任意两个连续函数 $y_1,y_2$ ,由利普希茨条件得 $|T[y_1](x)-T[y_2](x)| \le \int_{x_0}^x |f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))|\,dt \le L\,h\,\sup_{t\in I}|y_1(t)-y_2(t)|$ 。选取足够小的 $h$ 使 $Lh<1$ ,则 $T$ 在上确界范数下是压缩映射。

由巴拿赫不动点定理,完备度量空间(带上确界范数的 $I$ 上连续函数空间)上的压缩映射恰有一个不动点 $y$ ,满足 $y=T[y]$ 。这个不动点正是原初值问题在 $I$ 上的唯一解。

大学实际应用与典型例题

一阶方程可以模拟受资源限制的种群增长(生态学与流行病学中的逻辑斯蒂增长)、电子学中正在充放电的RC电路、热力学中的牛顿冷却定律、物理学中的放射性衰变与碳测年,以及金融学中利率随时间变化的连续复利。下面两个例子完整求解了最常见的两种模式。

例题: 逻辑斯蒂人口增长

种群 $P(t)$ 按逻辑斯蒂模型 $\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)$ 增长,初始种群为 $P(0)=P_0$ 。求 $P(t)$ 。

解答

该方程可分离:整理为 $\frac{dP}{P(1-P/K)}=r\,dt$ 。

部分分式分解 $\frac{1}{P(1-P/K)}=\frac1P+\frac{1/K}{1-P/K}$ 使我们可以逐项积分左边,得到 $\ln|P|-\ln|1-P/K|=rt+C_1$ ,合并常数并乘以 $K$ 后即 $\ln\left|\frac{P}{K-P}\right|=rt+C_2$ 。

取指数得 $\frac{P}{K-P}=Ae^{rt}$ (某常数 $A$ );在 $t=0$ 处用 $P(0)=P_0$ 得 $A=\frac{P_0}{K-P_0}$ 。

解出 $P$ 并化简得到闭式 $P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0(e^{rt}-1)}$ ,它从接近 $P_0$ 处开始,当 $t\to\infty$ 时趋近承载能力 $K$ ,正是真实种群数据中所见的S形曲线。

例题: RC电路充电

电容器通过电阻从恒定电压源 $V$ 充电,满足 $\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{RC} = \frac{V}{R}$ , $Q(0)=0$ ,其中 $Q(t)$ 是时刻 $t$ 的电荷。求 $Q(t)$ 。

解答

这是线性方程, $P(t)=\frac{1}{RC}$ ,源项为 $\frac{V}{R}$ ,故积分因子为 $\mu(t)=e^{t/(RC)}$ 。

两边相乘得 $\frac{d}{dt}\left[e^{t/(RC)}Q\right] = \frac{V}{R}e^{t/(RC)}$ ;两边积分得 $e^{t/(RC)}Q = VC\,e^{t/(RC)} + C_1$ (某常数 $C_1$ )。

除以 $e^{t/(RC)}$ 得 $Q(t) = VC + C_1 e^{-t/(RC)}$ 。代入 $Q(0)=0$ 得 $C_1=-VC$ 。

故 $Q(t)=CV\left(1-e^{-t/(RC)}\right)$ :电荷从 $0$ 上升到最终值 $CV$ ,其趋近速度由时间常数 $RC$ 决定——电阻或电容越大,趋近越慢。

线性一阶方程 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 的积分因子是什么?

在逻辑斯蒂增长模型 $\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)$ 中,常数 $K$ 表示什么?

求解可分离方程 $\frac{dy}{dx}=xy$ ,其中 $y(0)=1$ 。

什么条件能保证皮卡-林德勒夫定理给出 $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ 的唯一解?

参考文献

William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade (2017). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems
Morris Tenenbaum, Harry Pollard (1985). Ordinary Differential Equations