由特征根决定的通解结构

尝试试探解 $y=e^{rx}$。此时 $y'=re^{rx}$,$y''=r^2e^{rx}$;代入 $ay'' + by' + cy = 0$ 得到 $(ar^2+br+c)e^{rx}=0$。由于 $e^{rx}$ 永不为零,必然有特征方程 $ar^2+br+c=0$。由二次方程求根公式,$r = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

情形 $\Delta>0$:两个根 $r_1\neq r_2$ 给出解 $e^{r_1x}$ 与 $e^{r_2x}$。它们的朗斯基行列式为 $(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}\neq 0$,由叠加定理,通解为 $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$。

情形 $\Delta=0$:只有一个重根 $r=-b/(2a)$,只给出一个指数解 $e^{rx}$。为求第二个独立解,尝试 $y_2=v(x)e^{rx}$(降阶法)并代入方程;由于 $r$ 是 $ar^2+br+c$ 的重根,含 $v$ 与 $v'$ 的项相互抵消,只剩下 $av''e^{rx}=0$,即 $v''=0$,故 $v=c_1+c_2x$。由此得到第二个解 $xe^{rx}$,通解为 $y = (c_1 + c_2 x) e^{r x}$。

情形 $\Delta<0$:根为共轭复数 $r = \alpha \pm i\beta$,其中 $\alpha=-b/(2a)$,$\beta=\sqrt{-\Delta}/(2a)$。欧拉公式 $e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)$ 把复数解 $e^{(\alpha\pm i\beta)x}$ 变成两个独立的实数解 $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ 与 $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$(取实部与虚部即可,因为 $L$ 的系数为实数,实部虚部本身也是解),得到通解 $y = e^{\alpha x}\left(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)\right)$。