线性微分方程

求导是线性运算:和的导数等于导数的和,常数可以提出。由于方程左边只是 $y$、$y'$、$y''$ 乘以常数再相加而成,代入两个解的组合后,不过是把两个零相加。

设 $L[y] = ay''+by'+cy$。由于求导对常数 $k$ 满足 $(u+v)'=u'+v'$ 及 $(ku)'=ku'$,算子 $L$ 是线性的:$L[c_1y_1+c_2y_2] = a(c_1y_1+c_2y_2)'' + b(c_1y_1+c_2y_2)' + c(c_1y_1+c_2y_2) = c_1(ay_1''+by_1'+cy_1) + c_2(ay_2''+by_2'+cy_2) = c_1L[y_1]+c_2L[y_2]$。

因为 $y_1,y_2$ 是方程的解,所以 $L[y_1]=0$ 且 $L[y_2]=0$,于是 $L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1\cdot 0+c_2\cdot 0=0$:该组合仍是解。这就证明了前半部分。

对于后半部分,线性常微分方程理论保证二阶方程的解空间恰好是二维的(初始条件 $y(x_0)=y_0$、$y'(x_0)=y_0'$ 确定唯一一个解,给出两个自由参数)。若朗斯基行列式 $W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_2y_1'$ 在某点 $x_0$ 非零,意味着线性方程组 $c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)=y_0$、$c_1y_1'(x_0)+c_2y_2'(x_0)=y_0'$ 对任意初始数据都有唯一解 $(c_1,c_2)$。因此每个解都对应某个 $c_1y_1+c_2y_2$,即 $\{y_1,y_2\}$ 张成整个二维解空间。

指数函数是自然的构造单元,因为对 $e^{rx}$ 求导只是将其乘以 $r$;把这个试探解代入常系数线性方程,就把微积分问题化为代数问题——求多项式的根。

尝试试探解 $y=e^{rx}$。此时 $y'=re^{rx}$,$y''=r^2e^{rx}$;代入 $ay'' + by' + cy = 0$ 得到 $(ar^2+br+c)e^{rx}=0$。由于 $e^{rx}$ 永不为零,必然有特征方程 $ar^2+br+c=0$。由二次方程求根公式,$r = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

情形 $\Delta>0$:两个根 $r_1\neq r_2$ 给出解 $e^{r_1x}$ 与 $e^{r_2x}$。它们的朗斯基行列式为 $(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}\neq 0$,由叠加定理,通解为 $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$。

情形 $\Delta=0$:只有一个重根 $r=-b/(2a)$,只给出一个指数解 $e^{rx}$。为求第二个独立解,尝试 $y_2=v(x)e^{rx}$(降阶法)并代入方程;由于 $r$ 是 $ar^2+br+c$ 的重根,含 $v$ 与 $v'$ 的项相互抵消,只剩下 $av''e^{rx}=0$,即 $v''=0$,故 $v=c_1+c_2x$。由此得到第二个解 $xe^{rx}$,通解为 $y = (c_1 + c_2 x) e^{r x}$。

情形 $\Delta<0$:根为共轭复数 $r = \alpha \pm i\beta$,其中 $\alpha=-b/(2a)$,$\beta=\sqrt{-\Delta}/(2a)$。欧拉公式 $e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)$ 把复数解 $e^{(\alpha\pm i\beta)x}$ 变成两个独立的实数解 $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ 与 $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$(取实部与虚部即可,因为 $L$ 的系数为实数,实部虚部本身也是解),得到通解 $y = e^{\alpha x}\left(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)\right)$。