← 返回 线性微分方程 › 叠加原理 定理 已证明
叠加原理 命题陈述
若 y 1 y_1 y 1 y 2 y_2 y 2 a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay'' + by' + cy = 0 a y ′′ + b y ′ + cy = 0 c 1 , c 2 c_1,c_2 c 1 , c 2 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 y=c_1y_1+c_2y_2 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 W ( y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ′ − y 2 y 1 ′ W(y_1,y_2) = y_1y_2' - y_2y_1' W ( y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ′ − y 2 y 1 ′
为什么成立?
求导是线性运算:和的导数等于导数的和,常数可以提出。由于方程左边只是 y y y y ′ y' y ′ y ′ ′ y'' y ′′
证明思路 设 L [ y ] = a y ′ ′ + b y ′ + c y L[y] = ay''+by'+cy L [ y ] = a y ′′ + b y ′ + cy k k k ( u + v ) ′ = u ′ + v ′ (u+v)'=u'+v' ( u + v ) ′ = u ′ + v ′ ( k u ) ′ = k u ′ (ku)'=ku' ( k u ) ′ = k u ′ L L L L [ c 1 y 1 + c 2 y 2 ] = a ( c 1 y 1 + c 2 y 2 ) ′ ′ + b ( c 1 y 1 + c 2 y 2 ) ′ + c ( c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = c 1 ( a y 1 ′ ′ + b y 1 ′ + c y 1 ) + c 2 ( a y 2 ′ ′ + b y 2 ′ + c y 2 ) = c 1 L [ y 1 ] + c 2 L [ y 2 ] L[c_1y_1+c_2y_2] = a(c_1y_1+c_2y_2)'' + b(c_1y_1+c_2y_2)' + c(c_1y_1+c_2y_2) = c_1(ay_1''+by_1'+cy_1) + c_2(ay_2''+by_2'+cy_2) = c_1L[y_1]+c_2L[y_2] L [ c 1 y 1 + c 2 y 2 ] = a ( c 1 y 1 + c 2 y 2 ) ′′ + b ( c 1 y 1 + c 2 y 2 ) ′ + c ( c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = c 1 ( a y 1 ′′ + b y 1 ′ + c y 1 ) + c 2 ( a y 2 ′′ + b y 2 ′ + c y 2 ) = c 1 L [ y 1 ] + c 2 L [ y 2 ]
因为 y 1 , y 2 y_1,y_2 y 1 , y 2 L [ y 1 ] = 0 L[y_1]=0 L [ y 1 ] = 0 L [ y 2 ] = 0 L[y_2]=0 L [ y 2 ] = 0 L [ c 1 y 1 + c 2 y 2 ] = c 1 ⋅ 0 + c 2 ⋅ 0 = 0 L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1\cdot 0+c_2\cdot 0=0 L [ c 1 y 1 + c 2 y 2 ] = c 1 ⋅ 0 + c 2 ⋅ 0 = 0
对于后半部分,线性常微分方程理论保证二阶方程的解空间恰好是二维的(初始条件 y ( x 0 ) = y 0 y(x_0)=y_0 y ( x 0 ) = y 0 y ′ ( x 0 ) = y 0 ′ y'(x_0)=y_0' y ′ ( x 0 ) = y 0 ′ W ( y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ′ − y 2 y 1 ′ W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_2y_1' W ( y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ′ − y 2 y 1 ′ x 0 x_0 x 0 c 1 y 1 ( x 0 ) + c 2 y 2 ( x 0 ) = y 0 c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)=y_0 c 1 y 1 ( x 0 ) + c 2 y 2 ( x 0 ) = y 0 c 1 y 1 ′ ( x 0 ) + c 2 y 2 ′ ( x 0 ) = y 0 ′ c_1y_1'(x_0)+c_2y_2'(x_0)=y_0' c 1 y 1 ′ ( x 0 ) + c 2 y 2 ′ ( x 0 ) = y 0 ′ ( c 1 , c 2 ) (c_1,c_2) ( c 1 , c 2 ) c 1 y 1 + c 2 y 2 c_1y_1+c_2y_2 c 1 y 1 + c 2 y 2 { y 1 , y 2 } \{y_1,y_2\} { y 1 , y 2 }