看跌-看涨期权平价关系

在今天，即时刻 $t$，构造两个投资组合。组合A持有一份看涨期权，外加一笔以无风险利率投资的现金 $Ke^{-r(T-t)}$，使其在时刻 $T$ 恰好增值到 $K$。组合B持有一份看跌期权，外加一股股票。

比较它们在到期日 $T$ 两种可能情形下的价值。若 $S_T \ge K$：看涨期权被行使，价值为 $S_T - K$，现金已增值为 $K$，故组合A的价值为 $(S_T - K) + K = S_T$。看跌期权到期作废，股票价值为 $S_T$，故组合B的价值为 $0 + S_T = S_T$。两个组合相等。

若 $S_T < K$：看涨期权到期作废，现金仍价值 $K$，故组合A的价值为 $0 + K = K$。看跌期权被行使，价值为 $K - S_T$，股票价值为 $S_T$，故组合B的价值为 $(K - S_T) + S_T = K$。两个组合再次相等，这次都等于 $K$。

因此，在每一种可能的结果下，组合A与组合B在 $T$ 时刻的价值都恰好相等。若它们在 $t$ 时刻的价格不同，套利者就可以卖出较贵的组合、买入较便宜的组合，将差额以无风险利率投资，无论股票如何变化，都能在 $T$ 时刻获得无风险利润。由于真实市场不允许这种无风险利润长期存在，两个组合在 $t$ 时刻的价格必须相等：$C + Ke^{-r(T-t)} = P + S$，整理后得到 $C - P = S - Ke^{-r(T-t)}$。