勾股定理及其逆定理

作一个边长为 $a+b$ 的正方形。在其内部沿大正方形的每条边放置四个全等的直角三角形(直角边 $a,b$,斜边 $c$),每个都比前一个旋转 $90°$,使它们的直角朝外,斜边在中间围成一个倾斜的小正方形。

大正方形的面积可以直接算作 $(a+b)^2$。也可以算作四个三角形加中间小正方形的面积之和:每个三角形面积为 $\frac{1}{2}ab$,四个共贡献 $2ab$,中间小正方形边长为 $c$,面积为 $c^2$。于是同一面积也等于 $2ab + c^2$。

令两种计算相等:$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$。两边同减 $2ab$ 剩下 $a^2 + b^2 = c^2$,这正是勾股定理。

对于逆命题,设三角形三边 $a,b,c$ 满足 $c^2 = a^2 + b^2$,设 $\gamma$ 为边 $c$ 所对的角。另作一个直角边恰为 $a$、$b$ 的直角三角形,设其斜边为 $c'$。由刚证明的正向结论,$c'^2 = a^2+b^2 = c^2$,而两者都是正的长度,所以 $c' = c$。这两个三角形此时三边都相等(第一个三角形为 $a,b,c$),故由边边边全等,$\gamma$ 必须等于第二个三角形的直角,即 $\gamma = 90°$。