泰勒斯定理与勾股定理

平行线从顶点切出一个与原三角形相似的小三角形,而相似三角形的所有长度都按同一比例缩放——因此两条边必须按相同的比例被分割。

首先假设 $DE \parallel BC$。比较 $S_{\triangle BDE}$ 与 $S_{\triangle CDE}$:这两个三角形有公共底边 $DE$,而 $DE \parallel BC$ 意味着 $B$、$C$ 位于与 $DE$ 平行的一条直线上,因此 $B$ 到直线 $DE$ 的垂直距离等于 $C$ 到直线 $DE$ 的垂直距离。底边相等、高也相等,于是 $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$。

接下来比较 $S_{\triangle ADE}$ 与 $S_{\triangle BDE}$:以 $E$ 为顶点来看,三角形 $ADE$ 的底边 $AD$ 与三角形 $BDE$ 的底边 $DB$ 都在直线 $AB$ 上,二者共享从 $E$ 到直线 $AB$ 的同一个高。高相等的两个三角形,面积之比等于底边之比,于是 $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $\frac{AD}{DB}$。用同样的论证,以 $D$ 为顶点、底边在直线 $AC$ 上,可得 $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$。

由第一步 $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$,上面两个比值改写后分母相同,于是 $\frac{AD}{DB}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$。这就证明了 $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$。

对于逆命题,假设 $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ 成立。设 $E'$ 是 $AC$ 上使得 $DE' \parallel BC$ 的点;由刚证明的正向结论得 $AD/DB = AE'/E'C$。结合假设 $AE/EC = AD/DB$,得到 $AE'/E'C = AE/EC$,而在线段 $AC$ 上按固定比例分割的点是唯一的,所以 $E' = E$。因此 $DE = DE' \parallel BC$。

把四个相同的直角三角形排列在一个大正方形内部,中间会留下一个倾斜的小正方形;用两种方式计算大正方形的面积,就会迫使两条直角边的平方和与斜边的平方相等。

作一个边长为 $a+b$ 的正方形。在其内部沿大正方形的每条边放置四个全等的直角三角形(直角边 $a,b$,斜边 $c$),每个都比前一个旋转 $90°$,使它们的直角朝外,斜边在中间围成一个倾斜的小正方形。

大正方形的面积可以直接算作 $(a+b)^2$。也可以算作四个三角形加中间小正方形的面积之和:每个三角形面积为 $\frac{1}{2}ab$,四个共贡献 $2ab$,中间小正方形边长为 $c$,面积为 $c^2$。于是同一面积也等于 $2ab + c^2$。

令两种计算相等:$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$。两边同减 $2ab$ 剩下 $a^2 + b^2 = c^2$,这正是勾股定理。

对于逆命题,设三角形三边 $a,b,c$ 满足 $c^2 = a^2 + b^2$,设 $\gamma$ 为边 $c$ 所对的角。另作一个直角边恰为 $a$、$b$ 的直角三角形,设其斜边为 $c'$。由刚证明的正向结论,$c'^2 = a^2+b^2 = c^2$,而两者都是正的长度,所以 $c' = c$。这两个三角形此时三边都相等(第一个三角形为 $a,b,c$),故由边边边全等,$\gamma$ 必须等于第二个三角形的直角,即 $\gamma = 90°$。