二次互反律

命题陈述

对不同的奇素数 $p,q$,有 $\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$,其中 $\left(\dfrac{\cdot}{\cdot}\right)$ 表示勒让德符号。

为什么成立?

它把两个看似无关的问题联系起来——$p$ 是否是模 $q$ 的完全平方,以及 $q$ 是否是模 $p$ 的完全平方——表明它们几乎总是一致的,只有当两个素数的余数都是 $3$(除以 $4$ 时)才不同。

用到此定理的主题

相关定理

分步证明

该定理暂无分步证明。