分数相等的交叉相乘判定

方向一($\Rightarrow$)。设 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ 成立。由于 $b,d\neq0$,两边同乘非零数 $bd$:$\frac{a}{b}\cdot bd = \frac{c}{d}\cdot bd$。左边因子 $b$ 消去,得 $\frac{a}{b}\cdot bd = a\cdot d$;右边因子 $d$ 消去,得 $\frac{c}{d}\cdot bd = c\cdot b$。于是 $ad=bc$。

方向二($\Leftarrow$)。设 $ad=bc$ 成立。两边同除以非零数 $bd$:$\dfrac{ad}{bd}=\dfrac{bc}{bd}$。约去左边分数的公因子 $d$ 与右边分数的公因子 $b$:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$。

两个方向都成立,故两个命题等价:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ 成立当且仅当 $ad=bc$。