分数与小数

直接比较两个分数并不方便,因为它们的分母可能不同;用两个分母同时相乘可以消去分数,把比较变成普通的整数等式。

方向一($\Rightarrow$)。设 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ 成立。由于 $b,d\neq0$,两边同乘非零数 $bd$:$\frac{a}{b}\cdot bd = \frac{c}{d}\cdot bd$。左边因子 $b$ 消去,得 $\frac{a}{b}\cdot bd = a\cdot d$;右边因子 $d$ 消去,得 $\frac{c}{d}\cdot bd = c\cdot b$。于是 $ad=bc$。

方向二($\Leftarrow$)。设 $ad=bc$ 成立。两边同除以非零数 $bd$:$\dfrac{ad}{bd}=\dfrac{bc}{bd}$。约去左边分数的公因子 $d$ 与右边分数的公因子 $b$:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$。

两个方向都成立,故两个命题等价:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ 成立当且仅当 $ad=bc$。

十进制的位值是建立在 $10=2\times5$ 的幂之上的。一个分数能够改写成分母恰为 $10$ 的幂,当且仅当其分母的质因数只有 $2$ 和 $5$——任何其他质因数都永远无法被"吸收"进 $10$ 的幂中。

（$\Leftarrow$）设 $b=2^m5^n$。令 $k=\max(m,n)$。分子分母同乘 $2^{k-n}5^{k-m}$(由于 $k$ 是最大值,两个指数都 $\ge0$):$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot2^{k-n}5^{k-m}}{2^m5^n\cdot2^{k-n}5^{k-m}}=\dfrac{a\cdot2^{k-n}5^{k-m}}{2^k5^k}=\dfrac{N}{10^k}$,其中 $N=a\cdot2^{k-n}5^{k-m}$ 为整数。把 $N$ 写成普通数字,并在从右数第 $k$ 位处点上小数点(若 $N$ 位数不足 $k$ 位则在前面补零),得到的恰是 $\frac{a}{b}$ 的小数展开,且最多 $k$ 位后就结束:它是有限小数。

（$\Rightarrow$）设 $\frac{a}{b}$ 在 $k$ 位小数后终止,即对某个整数 $N$ 有 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{N}{10^k}$。交叉相乘(上面的定理1):$a\cdot10^k = b\cdot N$,故 $b$ 整除 $a\cdot10^k$。由于 $\frac{a}{b}$ 是最简分数,$\gcd(a,b)=1$,即 $b$ 与 $a$ 没有公共质因数;因此 $b$ 的任何质因数 $p$ 都不能整除 $a$,而 $p$ 整除 $a\cdot10^k$,故它必须整除 $10^k$。但 $10^k=2^k5^k$,其质因数只有 $2$ 和 $5$。所以 $b$ 的每个质因数都是 $2$ 或 $5$,即存在 $m,n\ge0$ 使得 $b=2^m5^n$。