判断整除 11 的交替数字和法则

第一步。用归纳法证明对一切 $i\ge0$ 有 $10^i \equiv (-1)^i \pmod{11}$。基础情形 $i=0$:$10^0=1=(-1)^0$。归纳步骤:若 $10^i\equiv(-1)^i\pmod{11}$,则 $10^{i+1}=10\cdot10^i\equiv(-1)\cdot(-1)^i=(-1)^{i+1}\pmod{11}$(利用 $10 \equiv -1 \pmod{11}$)。故对一切 $i$ 有 $10^i\equiv(-1)^i\pmod{11}$。

第二步。代入位值展开式:$n=\sum_i d_i10^i \equiv \sum_i d_i(-1)^i \pmod{11}$,这恰好是交替数字和 $\sum_i (-1)^i d_i$。

第三步。得出结论:$11\mid n$ 当且仅当 $n\equiv0\pmod{11}$,由第二步这恰好等价于 $11$ 整除 $\sum_i (-1)^i d_i$。