对数的积法则

设 $u=\log_a x$、$v=\log_a y$。按对数的定义(它是指数函数的反函数),这恰好意味着 $a^u=x$ 与 $a^v=y$。

将这两个等式相乘:$xy = a^u \cdot a^v$。由指数法则 $a^{u+v}=a^u\cdot a^v$,右边等于 $a^{u+v}$,故 $xy=a^{u+v}$。

再次由对数定义,$xy=a^{u+v}$ 恰好意味着 $\log_a(xy)=u+v$——但这用到了产生给定输出的指数是唯一的,即当 $a>0,a\ne 1$ 时 $a^u=a^v \Rightarrow u=v$(指数函数在 $a>1$ 时严格递增、在 $0<a<1$ 时严格递减,故对两个不同的指数永远不会给出相同的输出)。

代回 $u=\log_a x$、$v=\log_a y$,得到 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$,即 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$。