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定理已证明

罗伯逊－海森堡不确定性原理

命题陈述

对 H\mathcal H 上任意两个自伴算符 A^=A^∗\hat A=\hat A^*、B^=B^∗\hat B=\hat B^*，以及属于 A^B^\hat A\hat B 与 B^A^\hat B\hat A 定义域的任意单位矢量 ψ\psi，标准差 σA=⟨ψ∣(A^−⟨A^⟩)2∣ψ⟩\sigma_A=\sqrt{\langle\psi|(\hat A-\langle\hat A\rangle)^2|\psi\rangle} 与 σB\sigma_B（期望值在态 ψ\psi 下取）满足 σAσB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\sigma_A \sigma_B \ge \tfrac{1}{2}\left|\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle\right|，其中 [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A。

为什么成立?

两个可观测量只有在其算符对易时才能同时以完全精度测量；对易子的大小正是它们不相容程度的直接度量。柯西－施瓦茨不等式把"这两个矢量不能同时都很短"这一直觉变成了一个硬性的数值下界，而把内积分成实部和虚部，正好把对易子（真正量子的部分）与反对易子（看起来像经典关联的项）分离开来。

证明思路

第一步（中心化算符）。 令 ΔA^=A^−⟨A^⟩I\Delta\hat A=\hat A-\langle\hat A\rangle I、ΔB^=B^−⟨B^⟩I\Delta\hat B=\hat B-\langle\hat B\rangle I，由于 ⟨A^⟩,⟨B^⟩\langle\hat A\rangle,\langle\hat B\rangle 是实数标量，二者仍是自伴的。按定义 σA2=⟨ψ∣ΔA^2∣ψ⟩=∥ΔA^ ψ∥2\sigma_A^2=\langle\psi|\Delta\hat A^2|\psi\rangle=\|\Delta\hat A\,\psi\|^2，同理 σB2=∥ΔB^ ψ∥2\sigma_B^2=\|\Delta\hat B\,\psi\|^2。

第二步（柯西－施瓦茨不等式）。 对 f=ΔA^ ψf=\Delta\hat A\,\psi、g=ΔB^ ψg=\Delta\hat B\,\psi 应用柯西－施瓦茨不等式 ∣⟨f∣g⟩∣2≤⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩|\langle f|g\rangle|^2\le\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle：∣⟨ΔA^ ψ∣ΔB^ ψ⟩∣2≤σA2 σB2.|\langle\Delta\hat A\,\psi|\Delta\hat B\,\psi\rangle|^2 \le \sigma_A^2\,\sigma_B^2.

第三步（分解为实部与虚部）。 写出 ⟨ΔA^ ψ∣ΔB^ ψ⟩=⟨ψ∣ΔA^ΔB^∣ψ⟩\langle\Delta\hat A\,\psi|\Delta\hat B\,\psi\rangle=\langle\psi|\Delta\hat A\Delta\hat B|\psi\rangle。由于 ΔA^,ΔB^\Delta\hat A,\Delta\hat B 自伴，取复共轭会交换算符次序：⟨ΔA^ΔB^⟩∗=⟨ΔB^ΔA^⟩\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle^*=\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle。因此反对易子的期望值 ⟨{ΔA^,ΔB^}⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩+⟨ΔB^ΔA^⟩=2 Re⟨ΔA^ΔB^⟩\langle\{\Delta\hat A,\Delta\hat B\}\rangle=\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle+\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle=2\,\mathrm{Re}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle 是实数，而对易子的期望值 ⟨[ΔA^,ΔB^]⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩−⟨ΔB^ΔA^⟩=2i Im⟨ΔA^ΔB^⟩\langle[\Delta\hat A,\Delta\hat B]\rangle=\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle-\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle=2i\,\mathrm{Im}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle 是纯虚数。又因常数平移项在对易子中相消，故 [ΔA^,ΔB^]=[A^,B^][\Delta\hat A,\Delta\hat B]=[\hat A,\hat B]。

第四步（合并）。 对实部与虚部应用勾股定理，∣⟨ΔA^ΔB^⟩∣2=(Re⟨ΔA^ΔB^⟩)2+(Im⟨ΔA^ΔB^⟩)2=14∣⟨{ΔA^,ΔB^}⟩∣2+14∣⟨[A^,B^]⟩∣2≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2,|\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle|^2=\big(\mathrm{Re}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle\big)^2+\big(\mathrm{Im}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle\big)^2=\tfrac14|\langle\{\Delta\hat A,\Delta\hat B\}\rangle|^2+\tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2 \ge \tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2, 舍去显然非负的反对易子项。结合第二步得 σA2σB2≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2\sigma_A^2\sigma_B^2\ge\tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2，两边（均非负）开方即得 σAσB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\sigma_A \sigma_B \ge \tfrac{1}{2}\left|\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle\right|。

用到此定理的主题

量子力学的数学基础

分步证明

该定理暂无分步证明。

参考文献

  1. John von Neumann (1955). Mathematical Foundations of Quantum Mechanics
  2. Howard P. Robertson (1929). The Uncertainty Principle · DOI:10.1103/PhysRev.34.163
  3. Marshall H. Stone (1932). On One-Parameter Unitary Groups in Hilbert Space · DOI:10.2307/1968538