塞弗特–范坎彭定理

完整证明需要仔细的组合记录;这里给出结构性提纲。第一步 — 生成元。$X$ 中以 $x_0$ 为基点的任意环路 $\gamma$ 都可以细分为有限多段子路径,每段完全位于 $U$ 内或完全位于 $V$ 内(对紧致区间 $[0,1]$ 的开覆盖 $\{\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)\}$ 使用勒贝格数论证),因此 $[\gamma]$ 可以写成若干环路的乘积,每个环路代表 $\pi_1(U,x_0)$ 或 $\pi_1(V,x_0)$ 中的一个元素(在通过道路连通的 $U \cap V$ 中选定的路径把子路径端点连回 $x_0$ 之后)。这表明 $\pi_1(X,x_0)$ 由 $\pi_1(U,x_0)$ 与 $\pi_1(V,x_0)$ 的像共同生成。

第二步 — 关系。位于 $U \cap V$ 中的任意环路 $\delta$ 先验地代表两个可能不同的元素:$i_U(\delta) \in \pi_1(U,x_0)$(把 $\delta$ 看作 $U$ 中的环路)与 $i_V(\delta) \in \pi_1(V,x_0)$(看作 $V$ 中的环路)。由于 $\delta$ 在 $X$ 中确实是同一个环路,它在 $\pi_1(U) \to \pi_1(X)$ 与 $\pi_1(V) \to \pi_1(X)$ 下的像必须一致;这恰好迫使对每个 $[\delta] \in \pi_1(U \cap V, x_0)$ 都有融合关系 $i_U(\delta) = i_V(\delta)$。

第三步 — 没有更多关系。一个更精细的论证(以相同方式细分同伦 $H: [0,1]\times[0,1] \to X$,利用正方形的紧致性得到每个小格都位于 $U$ 或 $V$ 内的有限网格)表明这些融合关系是所需的唯一关系:表示 $\pi_1(X,x_0)$ 中同一元素的生成元的任意两个词,都可以通过一系列有限步骤相互关联,每一步都由某个融合关系所证成。这恰好把 $\pi_1(X,x_0)$ 等同于该融合自由积。