谱定理(实对称矩阵)

命题陈述

任意实对称矩阵 $A$(即 $A^{\mathsf T}=A$)都可正交对角化:存在正交矩阵 $Q$ 和实元素对角矩阵 $D$,使得 $A = QDQ^{\mathsf T}$;等价地,$A$ 拥有由实特征向量组成的一组标准正交基。

为什么成立?

对称矩阵不会像一般矩阵那样扭曲空间——它只沿一组互相垂直的轴进行伸缩。谱定理说明这样的轴总是存在,并且足以描述 $A$ 的全部作用:先旋转使坐标轴与它们对齐(正交矩阵 $Q$),再沿每个轴按各自的实数因子伸缩(对角矩阵 $D$),最后旋转回去。

用到此定理的主题

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分步证明

该定理暂无分步证明。