偏离均值之和为零

把求和展开:$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar x$。第二个和把常数 $\bar x$ 自身相加了 $n$ 次,所以 $\sum_{i=1}^{n}\bar x = n\bar x$。

根据定义,$\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$,两边同乘以 $n$ 得到 $n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i$。这恰好与上面展开式中的第一个和是同一个量。

代回原式:$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}x_i = 0$,这就证明了结论。