角平分线定理

第一步（利用从 $A$ 出发的公共高比较面积）。三角形 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 共享从顶点 $A$ 到直线 $BC$ 的同一条高，因此它们的面积之比等于 $BC$ 上的底边之比：$\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{BD}{DC}$。

第二步（以 $AB$ 与 $AC$ 为底再比较这两个面积）。因为 $D$ 在角 $A$ 的平分线上，$D$ 到该角两边的垂直距离相等：$d(D, AB) = d(D, AC)$。取 $AB$ 与 $AC$ 分别为 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的底，这两条相等的垂线段恰好就是对应的高，所以面积之比也等于这两条底边之比：$\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{AB}{AC}$。

第三步（令两式相等）。由于两个右边都等于同一个面积比，将第一步与第二步联立立即得到 $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$，证毕。